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​外接球球心和内切球球心会重合吗 外接球球心到各顶点距离

摘要外接球球心和内切球球心会重合吗 外接球球心到各顶点距离 “花不尽,月无穷。两心同。此时愿作,杨柳千丝,绊惹春风” 立体几何中与多面体相关的外接球问题,在近些年的高考中...

外接球球心和内切球球心会重合吗 外接球球心到各顶点距离

“花不尽,月无穷。两心同。此时愿作,杨柳千丝,绊惹春风”

立体几何中与多面体相关的外接球问题,在近些年的高考中悄然兴起,多以客观题方式出现,解决此类问题可以有2个策略,其一,利用模型,借助长方体,四面体等几何体,构建立体模型其二,定位球心位置,通常两个截面的外心垂线的交点,即为球心。事实上如果找到球心位置,自然就找到了半径,外接球的问题自然就可解决。

今天介绍5个结论和8个模型,并配有相应的练习题,如果能依题意选取恰当的模型和结论,相信大家定能在外接球问题上披荆斩棘。

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结论1:长方体的外接球的球心在其体对角线的中点处.

模型一 长方体

①“墙角模型”,在某个定点处的三条侧棱两两垂直;

方法:将三条侧棱分别看成长方体的长、宽、高,并设为a、b、c,则长方体的体对角线长度则为球的直径!

公式:2R=√(a²+b²+c² )

例1 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为()

【解析】由三视图知该几何体为四棱锥,两两互相垂直,形似“墙角”,而正方体的体对角 线就是其外接球的直径,故外接球的直径,所以2r=√3.

练习1.1 已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2√3正方形.若PA=2√6,则△OAB的面积为______________.

【答案】3√3

练习1.2 若三棱锥的三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为√3,则其外接球的表面积是.

【答案】

②直三棱柱,并且底面为直角三角形

方法:补成相应长方体,求体对角线

公式:2R=√(a²+b²+c² )

例2 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BC=2√2,则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为()

A.36π B.28π C.16π D.12π

【解析】由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体,则长方体的体对角线是其外接球的直径,

练习2.1 直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在直径为√61的球面上,且AB=3,AC=4,BC=5,点D是棱BB1的中点,则该四棱锥D﹣ACC1A1的体积为()

A.24 B.32 C.36 D.72

【答案】A

③对棱相等三棱锥

方法:构造一个长方体,使得三棱锥的六条棱分别是长方体各个面的对角线.

解题步骤:1.设长方体长宽高为a、b、c,三棱锥的对棱分别是A、B、C

2. 列方程组

a²+b²=A²

b²+c²=B²

c²+a²=C²

3.相加除以2后得:a²+b²+c²=1/2(A²+B²+C²)=(4R)²

例3 在三棱锥A- BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为___________

【答案】43π

练习3.1 在半径为5的球面上有不共面的四个点A、B、C、D,且AB=CD=x,BC=DA=y,CA=BD=z,则 x2+y2+z2=()

A.120 B.140 C.180 D.200

【答案】D

结论2:若棱锥侧面有共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点为外接球的球心。

模型二 有共斜边的直角三角形

方法:寻找有公共斜边的两个直角三角形,斜边中点为球心

例4 将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角,得到四面体A﹣BCD,则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为( )

A. 25π B. 50π C. 5π D. 10π

【解析】ABC和ADC为两个RT三角形,公共的斜边是AC,则AC中点为外接球的球心,R=25/2

故选A

结论3:正棱锥的外接球的球心在体高上,列方程确定具体位置

模型三 正棱锥模型

静态展示

动态展示

其中r是底面圆外接圆半径,d是球心到截面的距离,h是体高,R是球半径

结论4:直棱柱球心在上下面的外接圆圆心连线的中点

模型 直棱柱

①正棱柱模型–球心在上下面中心的连线的中点处

②一般直棱柱模型–球心在上下底面三角形外心的连线的中点处.

结论5:过几何体两个面的外心分别作这两个面的垂线,垂线的交点即为球心

模型 一般三棱锥–过两个面外心(外心较易找到)作垂线,垂线交点即为圆心

【解析】设AB的中点为M,由△ACB是等腰直角三角形,则M为△ACB的外心,可证PM⊥面ACB,故球心在直线PM上,延长PM交球于另外一点N,则PN为球的直径,连接AN。

故选B

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